Noktaya bağlı süreklilik ile bütün aralıkta ortak kontrol sağlayan düzgün süreklilik arasındaki farkı örnekler ve Heine–Cantor Teoremiyle anlayın.
Noktadaki süreklilikte seçilen δ, hem ε değerine hem de incelenen noktaya bağlı olabilir. Düzgün süreklilikte ise tek bir δ, tanım kümesindeki bütün nokta çiftleri için çalışmalıdır. “Düzgün” sözcüğü bu ortak kontrolü ifade eder.
Tanımlar arasındaki fark
Süreklilikte her a noktası ve her ε için uygun bir δ bulunur. Düzgün süreklilikte ise her ε için bir δ seçilir ve |x-y|<δ olan bütün x,y çiftlerinde |f(x)-f(y)|<ε sağlanır. δ belirli bir merkeze göre değişmez.
Heine–Cantor ne söyler?
Kapalı ve sınırlı bir aralıkta sürekli olan her fonksiyon o aralıkta düzgün süreklidir. Bu sonuç, kompaktlığın yerel süreklilik bilgisini bütün aralık için ortak bir kontrole dönüştürmesidir.
[a,b] üzerinde sürekli verilmişse ayrıca ε–δ hesabı yapmadan düzgün sürekli olduğunu söyleyebilirsiniz.Neden kapalı aralık önemli?
f(x)=1/x fonksiyonu (0,1) üzerinde süreklidir fakat sıfıra yaklaşırken değişim giderek hızlandığı için düzgün sürekli değildir. Aynı fonksiyon [a,1] üzerinde, a>0 olmak koşuluyla düzgün süreklidir.
Türevle yeter koşul
Bir aralıkta türev sınırlıysa Ortalama Değer Teoremi sayesinde |f(x)-f(y)|≤M|x-y| yazılabilir. Böylece δ=ε/M seçimi düzgün sürekliliği gösterir. Bu güçlü bir yeter koşuldur; fakat türevin sınırsız olması fonksiyonun mutlaka düzgün sürekli olmadığı anlamına gelmez.
Sorularda karar stratejisi
- Tanım kümesi kapalı ve sınırlı mı?
- Fonksiyon bu kümede sürekli mi?
- Değilse türev için ortak bir üst sınır bulunabiliyor mu?
- Karşı örnek gerekiyorsa birbirine yaklaşan fakat görüntüleri yaklaşmayan iki dizi kurulabilir mi?
