Bir noktada türevlenebilirliğin neden sürekliliği garanti ettiğini, tersinin neden doğru olmadığını ve sorularda hangi sırayla kontrol yapılacağını öğrenin.
Türev ve süreklilik birbirine yakın görünse de aynı kavram değildir. Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması, o noktada sürekli olmasını garanti eder. Ancak sürekli olan her fonksiyon türevlenebilir değildir. Bu tek yönlü ilişkiyi anlamak, özellikle parçalı fonksiyon ve mutlak değer sorularını büyük ölçüde kolaylaştırır.
Türevlenebilirlik neden sürekliliği gerektirir?
f'(a) varsa (f(x)-f(a))/(x-a) oranının x→a limiti sonludur. Farkı f(x)-f(a)=[(f(x)-f(a))/(x-a)](x-a) biçiminde yazarsak ilk çarpan türeve, ikinci çarpan sıfıra gider. Dolayısıyla f(x)-f(a)→0 ve f(x)→f(a) olur.
Süreklilik neden yeterli değildir?
f(x)=|x| fonksiyonu sıfırda süreklidir; fakat soldan eğimi −1, sağdan eğimi 1’dir. İki tek taraflı türev eşit olmadığı için sıfırda türev yoktur. Köşe, sivri uç ve dik teğetler süreklilik korunurken türevlenebilirliğin bozulabildiği tipik durumlardır.
Sorularda kontrol sırası
- Fonksiyonun noktadaki değerini bulun.
- Sağ ve sol limitleri karşılaştırarak sürekliliği kontrol edin.
- Süreklilik varsa sağ ve sol türevleri hesaplayın.
- İki türev eşitse fonksiyon türevlenebilirdir.
Parametreli parçalı fonksiyonlar
Birden fazla parametre varsa önce süreklilik denklemini, sonra türevlenebilirlik denklemini kurun. Bu sıralama iki bilinmeyen için iki bağımsız koşul üretir. Yalnızca parçaların cebirsel türevlerini eşitlemek, fonksiyonun birleşme noktasında sürekli olduğunu göstermediği için eksik çözümdür.
Kısa kontrol listesi
- Türevlenebilirlik sürekliliği içerir.
- Süreklilik tek başına türevlenebilirlik sağlamaz.
- Bir noktadaki türev için sağ ve sol eğimler aynı olmalıdır.
- Grafikte kesinti varsa türev; köşe varsa tek bir teğet eğimi yoktur.
