Weierstrass olarak da bilinen Ekstrem Değer Teoremi’nin koşullarını ve kapalı aralıkta mutlak maksimum–minimum bulma yöntemini uygulayın.
Ekstrem Değer Teoremi, sürekli bir fonksiyonun kapalı ve sınırlı bir aralıkta mutlaka mutlak maksimum ve minimum değerlerini aldığını söyler. Teorem değerlerin nerede olduğunu söylemez; fakat arama yaptığımızda sonuç bulacağımızı garanti eder.
Teoremin iki kritik koşulu
Fonksiyon [a,b] üzerinde sürekli olmalı ve aralık kapalı–sınırlı olmalıdır. Açık aralıkta uç değere yalnızca yaklaşılabilir; süreksiz bir fonksiyonda ise değerler sınırsız büyüyebilir. Bu yüzden koşullar sonucun ayrılmaz parçasıdır.
Kapalı aralık yöntemi
f'(x)=0olan veya türevin tanımsız olduğu iç kritik noktaları bulun.- Yalnızca
(a,b)içinde kalan noktaları listeye alın. - Fonksiyonun kritik noktalardaki ve iki uç noktadaki değerlerini hesaplayın.
- En büyük değeri mutlak maksimum, en küçük değeri mutlak minimum olarak seçin.
Yerel ve mutlak ekstremum farkı
Yerel maksimum, yalnızca yakın çevredeki değerlere göre büyüktür. Mutlak maksimum ise bütün tanım aralığındaki en büyük değerdir. Bir uç nokta mutlak ekstremum olabilir fakat iki taraflı açık komşuluğu bulunmadığı için kullanılan tanıma göre yerel ekstremum sayılmayabilir.
Türevin olmadığı noktaları unutmayın
|x| gibi fonksiyonlarda köşe noktası türevin sıfır olduğu bir yer değildir; türev tanımsızdır. Buna rağmen minimum burada oluşabilir. Bu nedenle kritik nokta ararken yalnızca f'=0 denklemini çözmek yeterli değildir.
Çözüm yazımında son adım
Bir değer tablosu oluşturup x noktalarını ve karşılık gelen f(x) değerlerini açıkça yazın. Son cümlede hem noktayı hem değeri belirtin: “Mutlak minimum x=c noktasında f(c)’dir.”
