Bir integrale bakınca hangi yöntemin seçileceğini; değişken değiştirme, parçalı integrasyon ve kısmi kesirler üzerinden sistematik biçimde öğrenin.
İntegral sorularında en büyük güçlük çoğu zaman işlemi yapmak değil, doğru yöntemi seçmektir. Bu nedenle formül ezberlemek yerine integrandın yapısını okumayı öğrenmek gerekir. Aşağıdaki karar sırası, özellikle Analysis 1 ve Calculus sınavlarında zaman kaybını azaltır.
Önce integrali sınıflandırın
İlk adım sadeleştirmedir. Çarpanlara ayırma, trigonometrik özdeşlik veya basit bir bölme işlemi soruyu standart bir biçime dönüştürebilir. Ardından şu üç soruyu sorun:
- İçerideki bir fonksiyonun türevi de ifadede bulunuyor mu?
- İki farklı tür fonksiyon çarpım halinde mi?
- İfade rasyonel bir fonksiyon mu?
Bu sorular sırasıyla değişken değiştirme, parçalı integrasyon ve kısmi kesir yöntemlerine işaret eder.
Değişken değiştirme ne zaman seçilir?
f(g(x))g'(x) biçimine yakın bir yapı görüyorsanız u=g(x) seçimi doğaldır. Örneğin ∫2x cos(x²) dx integralinde u=x² seçildiğinde du=2x dx olur ve soru ∫cos(u)du biçimine iner.
Parçalı integrasyon nasıl planlanır?
Çarpım biçimindeki integrallerde ∫u dv = uv - ∫v du kullanılır. Amaç, türevi alındığında basitleşen parçayı u seçmektir. Logaritmik, ters trigonometrik ve polinom fonksiyonlar çoğu zaman iyi birer u adayıdır.
Yöntemin gerçekten işe yaradığını nasıl anlarsınız?
Yeni integral eskisinden daha kolay olmalıdır. Örneğin ∫x eˣ dx için u=x ve dv=eˣdx seçimi, geriye yalnızca ∫eˣdx bırakır. Tersi seçim ise soruyu karmaşıklaştırır.
Kısmi kesirlerde izlenecek sıra
Rasyonel ifadelerde önce payın derecesinin paydanın derecesinden küçük olup olmadığını kontrol edin. Değilse polinom bölmesi yapın. Sonra paydayı çarpanlarına ayırarak her lineer veya indirgenemez ikinci derece çarpan için uygun parçaları yazın.
- Polinom bölmesini kontrol edin.
- Paydayı tamamen çarpanlarına ayırın.
- Tekrarlı çarpanların bütün kuvvetlerini yazın.
- Katsayıları eşitleyin ve bulunan basit integralleri alın.
Sınavda yöntem seçme stratejisi
Bir yöntemde iki satır ilerledikten sonra ifade belirgin biçimde sadeleşmiyorsa başa dönün. Sonuç bulduğunuzda türev alarak kontrol edin. Belirsiz integrallerde sabit terimi, belirli integrallerde ise değişken dönüşümü yaptıysanız sınırların da dönüştürülmesini unutmayın.
