İkinci türevin grafik hakkında verdiği bilgiyi, büküm noktası adaylarını ve yerel ekstremum testini işaret tablolarıyla doğru yorumlayın.
Birinci türev fonksiyonun artma–azalma davranışını, ikinci türev ise eğrinin nasıl kıvrıldığını açıklar. Bu iki bilgi birlikte kullanıldığında yalnızca noktaları değil, grafiğin genel biçimini de güvenilir şekilde kurabiliriz.
Konkavlık nasıl okunur?
f''(x)>0 ise türev değerleri artar ve grafik yukarı konkavdır. f''(x)<0 ise türev değerleri azalır ve grafik aşağı konkavdır. Konkavlık, fonksiyonun artıp azalmasından bağımsızdır; azalan bir fonksiyon da yukarı konkav olabilir.
Büküm noktası için gerekenler
f''(c)=0 veya ikinci türevin tanımsız olması yalnızca aday üretir. Büküm noktası diyebilmek için c’nin iki yanında konkavlığın gerçekten değişmesi gerekir.
f(x)=x⁴ için f''(0)=0 olmasına rağmen ikinci türev sıfırın iki yanında pozitiftir; dolayısıyla sıfır büküm noktası değildir.İkinci türev testi
f'(c)=0 olan bir kritik noktada f''(c)>0 ise yerel minimum, f''(c)<0 ise yerel maksimum vardır. f''(c)=0 çıkarsa test kararsızdır ve birinci türev işaret tablosuna dönülmelidir.
İşaret tablosu kurma sırası
- İkinci türevin sıfır ve tanımsız olduğu noktaları bulun.
- Bu noktalarla sayı doğrusunu aralıklara ayırın.
- Her aralıktan bir test noktası seçerek
f''işaretini belirleyin. - İşaret değişen ve fonksiyonun tanımlı olduğu noktaları büküm noktası olarak değerlendirin.
Grafik çiziminde bütünlük
Önce tanım kümesi ve asimptotlar, sonra birinci türev, ardından ikinci türev incelenmelidir. Yalnızca konkavlık bilgisi grafiğin yükselip alçaldığını söylemez; yalnızca birinci türev de eğrinin kıvrım biçimini göstermez.
