Büyük O ve küçük o gösterimlerinin anlamı, fonksiyonların büyüme hızlarını karşılaştırma ve limit hesaplarında asimptotik ifadeleri kullanma rehberi.
Landau gösterimi, uzun ifadelerin belirli bir noktaya yakın veya sonsuzdaki baskın davranışını kısa biçimde anlatır. Bilgisayar bilimindeki algoritma karmaşıklığında görülen Büyük O ile analiz dersindeki kullanım aynı karşılaştırma fikrine dayanır; ancak bağlam ve limit noktası açıkça belirtilmelidir.
Gösterimi eşitlik gibi mekanik kullanmak yerine, iki fonksiyonun büyüklüklerinin nasıl karşılaştırıldığını anlamak gerekir.
Büyük O bir üst büyüme sınırı verir
f(x)=O(g(x)) ifadesi, ilgili bölgede |f(x)| değerinin sabit bir kat |g(x)| ile sınırlanabildiğini söyler. Bu, iki fonksiyonun aynı hızda büyümesini zorunlu kılmaz; f daha yavaş da büyüyebilir.
Hangi noktada inceleme yapıldığı önemlidir. x sıfıra giderken geçerli olan bir O ilişkisi, x sonsuza giderken geçerli olmayabilir.
Küçük o ihmal edilebilirliği ifade eder
f(x)=o(g(x)) demek, f(x)/g(x) oranının ilgili limitte sıfıra gitmesi demektir. Böylece f, g’ye göre daha düşük mertebeli ve baskın davranış açısından ihmal edilebilir kabul edilir.
Taylor açılımlarında kalan terimin küçük o ile yazılması, polinom dışında kalan kısmın belirtilen kuvvete göre daha hızlı küçüldüğünü anlatır.
- Limit noktasını mutlaka belirtin.
- Karşılaştırılan fonksiyonun sıfır olmadığı bölgeyi kontrol edin.
- O ile o arasındaki güç farkını oran limitiyle test edin.
- Toplama ve çarpma kurallarını mertebeleri izleyerek uygulayın.
Limit hesaplarında baskın terimi görünür kılın
Üstel, trigonometrik veya logaritmik fonksiyonların yerel açılımları Landau gösterimiyle yazıldığında karmaşık limitler birkaç baskın terime indirgenebilir. Ancak açılım derecesi, pay ve paydadaki ilk sıfır olmayan terimleri görecek kadar yüksek seçilmelidir.
Bir terimi ihmal etmeden önce onun gerçekten daha küçük mertebede olduğunu gösterin. Görsel olarak küçük görünen katsayı, asimptotik mertebeyi değiştirmez; kuvvet ve fonksiyon türü belirleyicidir.
Kendinizi sınayın
- Limit noktasını ifadenin yanında yazdım.
- Büyük O ile küçük o’yu oran testiyle ayırabiliyorum.
- Baskın terimi ilk sıfır olmayan terim olarak belirledim.
- İhmal ettiğim terimin daha düşük mertebede olduğunu gerekçelendirdim.
Konuların birbirine nasıl bağlandığını görmek için Mathematical Analysis 1 çalışma rehberine, ders kapsamı için Mathematical Analysis 1 ders sayfasına dönebilirsiniz.
Hatırlatma: Dersin konu sırası ve ispat beklentisi üniversiteye göre değişebilir. Güncel izlenceyi ve öğretim üyesinin kullandığı tanımları esas alın.
