Rolle ve Ortalama Değer Teoremi’nin koşullarını ezberlemeden kontrol etmeyi, uygun c noktasını bulmayı ve ispat sorularını planlamayı öğrenin.
Rolle ve Ortalama Değer Teoremi sorularında öğrencilerin en sık yaptığı hata, doğrudan türev alıp denklem çözmeye başlamaktır. Oysa teoremin sonucu ancak varsayımlar eksiksiz kontrol edildiğinde kullanılabilir.
İki teoremin ortak koşulları
Bir f fonksiyonu [a,b] kapalı aralığında sürekli ve (a,b) açık aralığında türevlenebilir olmalıdır. Rolle Teoremi için ayrıca f(a)=f(b) koşulu gerekir.
Bu koşullar sağlanıyorsa Ortalama Değer Teoremi en az bir c∈(a,b) için f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a) olduğunu söyler. Rolle durumunda sağ taraf sıfırdır.
Soru çözüm şablonu
- Fonksiyonun kapalı aralıkta sürekli olduğunu gerekçelendirin.
- Açık aralıkta türevlenebilirliği kontrol edin.
- Gerekirse uç nokta değerlerini hesaplayın.
- Teoremin sonucundaki türev denklemini kurun.
- Bulduğunuz c değerinin gerçekten açık aralıkta olduğunu doğrulayın.
Geometrik anlam
Ortalama Değer Teoremi, eğri üzerinde teğeti uç noktaları birleştiren kirişe paralel olan en az bir nokta bulunduğunu söyler. Rolle Teoremi’nde uç noktaların yüksekliği aynı olduğu için kiriş yataydır; dolayısıyla içeride yatay teğetli bir nokta vardır.
İspat sorularında yardımcı fonksiyon
Bazı sorular teoremi doğrudan adlandırmaz. İki fonksiyon değerinin eşitliği veya bir türevin sıfır olduğu noktanın varlığı isteniyorsa uygun bir yardımcı fonksiyon kurup Rolle Teoremi uygulamak etkili olabilir. Ortalama eğimi sıfırlamak için doğrusal bir terim çıkarılması da yaygın bir tekniktir.
Koşullar bozulursa ne olur?
Fonksiyon aralık içinde süreksizse veya bir köşe noktasında türevlenemiyorsa sonuç garanti edilmez. Bu nedenle mutlak değer, parçalı fonksiyon ve paydası sıfır olabilen rasyonel fonksiyonlarda koşul kontrolü sorunun asıl kısmıdır.
